Known result: the image of an ellipsoid under a
nonsingular linear transformation is an ellipsoid

v_1 \mbox{ eigenvector for eigenvalue }\mu_1 = -1\mbox{ of }L_D 

v_2\mbox{ and }v_3\mbox{ eigenvectors for eigenvalue }\mu_2=1\mbox{ of multiplicity 2}

\mbox{True antipodal points }A_1\mbox{ and }A_2:\ span_{v_1} \cap \Sigma\mbox{ do not depend on s}

\mbox{Intersecting points (orange elliptical curve): } span_{v_1,v_2} \cap \Sigma\mbox{ do not depend on s}

u0 = 1.0471975511965976 (slider from 0 to 6.283185307179586, step π / 12)
v0 = 0.7853981633974483 (slider from 0 to 3.141592653589793, step π / 12)
a = 5 (slider from 0 to 5, step 0.25)
b = 4 (slider from 0 to 5, step 0.25)
c = 3 (slider from 0 to 5, step 0.25)
Σ: x^(2) / a^(2) + y^(2) / b^(2) + z^(2) / c^(2) = 1
s = 2 (slider from 0 to 20, step 0.25)
Δ_{inf}: (((((((((((4 * a^(4)) * b^(2)) * c^(2)) * s^(2)) - ((((4 * a^(4)) * b^(2)) * c^(2)) * s) + ((a^(4) * b^(2)) * c^(2))) * sin(u0)^(2)) + ((((((4 * a^(2)) * b^(4)) * c^(2)) * s^(2)) - ((((4 * a^(2)) * b^(4)) * c^(2)) * s) + ((a^(2) * b^(4)) * c^(2))) * cos(u0)^(2))) * sin(v0)^(2)) + ((a^(4) * b^(4)) * cos(v0)^(2))) * z^(2)) + (((((((((((8 * a^(4)) * b^(2)) * c^(2)) * s) - ((((8 * a^(4)) * b^(2)) * c^(2)) * s^(2))) * sin(u0)) * cos(v0)) * sin(v0)) * y) + (((((((((8 * a^(2)) * b^(4)) * c^(2)) * s) - ((((8 * a^(2)) * b^(4)) * c^(2)) * s^(2))) * cos(u0)) * cos(v0)) * sin(v0)) * x)) * z) + ((((((a^(4) * c^(4)) * sin(u0)^(2)) + ((((((4 * a^(2)) * b^(2)) * c^(4)) * s^(2)) - ((((4 * a^(2)) * b^(2)) * c^(4)) * s) + ((a^(2) * b^(2)) * c^(4))) * cos(u0)^(2))) * sin(v0)^(2)) + ((((((4 * a^(4)) * b^(2)) * c^(2)) * s^(2)) - ((((4 * a^(4)) * b^(2)) * c^(2)) * s) + ((a^(4) * b^(2)) * c^(2))) * cos(v0)^(2))) * y^(2)) + ((((((((((8 * a^(2)) * b^(2)) * c^(4)) * s) - ((((8 * a^(2)) * b^(2)) * c^(4)) * s^(2))) * cos(u0)) * sin(u0)) * sin(v0)^(2)) * x) * y) + ((((((((((4 * a^(2)) * b^(2)) * c^(4)) * s^(2)) - ((((4 * a^(2)) * b^(2)) * c^(4)) * s) + ((a^(2) * b^(2)) * c^(4))) * sin(u0)^(2)) + ((b^(4) * c^(4)) * cos(u0)^(2))) * sin(v0)^(2)) + ((((((4 * a^(2)) * b^(4)) * c^(2)) * s^(2)) - ((((4 * a^(2)) * b^(4)) * c^(2)) * s) + ((a^(2) * b^(4)) * c^(2))) * cos(v0)^(2))) * x^(2)) + ((((((((-4 * a^(4)) * b^(2)) * c^(4)) * s^(2)) + ((((4 * a^(4)) * b^(2)) * c^(4)) * s) - ((a^(4) * b^(2)) * c^(4))) * sin(u0)^(2)) + ((((((-4 * a^(2)) * b^(4)) * c^(4)) * s^(2)) + ((((4 * a^(2)) * b^(4)) * c^(4)) * s) - ((a^(2) * b^(4)) * c^(4))) * cos(u0)^(2))) * sin(v0)^(2)) + ((((((-4 * a^(4)) * b^(4)) * c^(2)) * s^(2)) + ((((4 * a^(4)) * b^(4)) * c^(2)) * s) - ((a^(4) * b^(4)) * c^(2))) * cos(v0)^(2))) / ((((((((4 * a^(2)) * c^(2)) * s^(2)) - (((4 * a^(2)) * c^(2)) * s) + (a^(2) * c^(2))) * sin(u0)^(2)) + (((((4 * b^(2)) * c^(2)) * s^(2)) - (((4 * b^(2)) * c^(2)) * s) + (b^(2) * c^(2))) * cos(u0)^(2))) * sin(v0)^(2)) + (((((4 * a^(2)) * b^(2)) * s^(2)) - (((4 * a^(2)) * b^(2)) * s) + (a^(2) * b^(2))) * cos(v0)^(2))) = 0
v_1: (5 * (1, sin(u0) / cos(u0), cos(v0) / ((cos(u0) * sin(v0)))))
v_2: (5 * (1, 0, ((-(((c^(2) * cos(u0)) * sin(v0))))) / ((a^(2) * cos(v0)))))
v_3: (5 * (0, 1, ((-(((c^(2) * sin(u0)) * sin(v0))))) / ((b^(2) * cos(v0)))))
span_{v1} = Line((0, 0), v_1)
A_1, A_2 = Intersect(span_{v1}, Σ)
u: v_2 ⊗ v_3
span_{v2,v3} = OrthogonalPlane((0, 0, 0), Vector[v_2 ⊗ v_3])
g = IntersectPath(span_{v2,v3}, Σ)
λ_4 = -3600 (slider from -3600 to -3600)
λ_1 = 32.96961579037391 (slider from -200 to 50)
w_1: (0.3992665677866755, 0.6247632733479337, 0.6710119671983674)
axis_1: (sqrt(((-λ_4)) / λ_1) * w_1)
λ_2 = 154.2227144441468 (slider from 153 to 200)
w_2: (-0.9105258187869234, 0.3559141426369853, 0.2103992785001474)
axis_2: (sqrt(((-λ_4)) / λ_2) * w_2)
λ_3 = 283.2045739040121 (slider from 280 to 500)
w_3: (-0.1073729070587682, -0.6949791186406645, 0.7109677091705322)
axis_3: (sqrt(((-λ_4)) / λ_3) * w_3)